微分積分 例

連鎖律を当てはめるために、${\displaystyle u}$を${\displaystyle xy}$とします。

${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$は${\displaystyle n{u}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle u}$のすべての発生を${\displaystyle xy}$で置き換えます。

${\displaystyle -1}$に${\displaystyle 2}$をかけます。

${\displaystyle 1}$から${\displaystyle 2}$を引きます。

分数の前に負数を移動させます。

${\displaystyle \frac{1}{2}}$と${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$をまとめます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して${\displaystyle {\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}}$を分母に移動させます。

積の法則を${\displaystyle xy}$に当てはめます。

分配則を当てはめます。

項をまとめます。

総和則では、${\displaystyle 9+x^{2}y}$の${\displaystyle x}$に関する積分は${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[9\right]+\frac{d}{dx}\left[x^{2}y\right]}$です。

${\displaystyle 9}$は${\displaystyle x}$について定数なので、${\displaystyle x}$について${\displaystyle 9}$の微分係数は${\displaystyle 0}$です。

${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$および${\displaystyle g\left(x\right)=y}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$は${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$であるという積の法則を使って微分します。

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$を${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$に書き換えます。

${\displaystyle n=2}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle 2}$を${\displaystyle y}$の左に移動させます。

${\displaystyle 0}$と${\displaystyle x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2yx}$をたし算します。

項を並べ替えます。

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

Since ${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 2,2,1,1,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$.

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

${\displaystyle 2}$には、${\displaystyle 1}$と${\displaystyle 2}$以外に因数がないため。

数${\displaystyle 1}$は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

${\displaystyle 2,2,1,1,1}$の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${\displaystyle y^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{2}}}$の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}},2x^{\frac{1}{2}},1,1,1}$の最小公倍数は数値部分${\displaystyle 2}$に変数部分を掛けたものです。

${\displaystyle \frac{y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{x}^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}}}+\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}-x^{2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}-2xy=0}$の各項に${\displaystyle 2y^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}$を掛けます。

左辺を簡約します。