微分積分例

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 3 y$ で置き換えます。

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 3.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ として書き換えます。

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

ステップ 5.2

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ の各項を $\cos (x + 3 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ の各項を $\cos (x + 3 y)$ で割ります。

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\cos (x + 3 y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

ステップ 5.2.2.1.2

$1 + 3 y'$ を $1$ で割ります。

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

ステップ 5.4

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.3.1.2

まとめる。

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.3.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.3.1.4

$3$ を $\cos (x + 3 y)$ の左に移動させます。

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.4.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

微分積分 例

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