微分積分例

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 11 x + 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $11 x + 3 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $11 x + 3 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

ステップ 2.7

総和則では、 $11 x + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.8

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.10

$11$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.12

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ の因数を並べ替えます。

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2

$11 + 3 y'$ に $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.1.1.3

${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.1.1.4

$11$ と $3 y'$ を並べ替えます。

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.2.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

ステップ 5.3.2

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1

$3$ を $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.4

$2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.2

$2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.3

$2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

ステップ 5.3.2.3.5

$3$ に $2$ をかけます。

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

微分積分 例

微分積分例