微分積分例

$y = {\sin (x)}^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

${\sin (x)}^{x}$ を $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

ステップ 3.1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (x)}^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (\sin (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (\sin (x))$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

ステップ 3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

ステップ 3.7.2

$\ln (\sin (x))$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

ステップ 3.8.2

括弧を削除します。

$e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

ステップ 3.8.3

項を並べ替えます。

$e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

微分積分 例

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