微分積分例

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (y) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $5 x^{4} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} + 0$

ステップ 3.3.2

$20 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$20 x^{3}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

ステップ 5

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ の各項を $\cos (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ の各項を $\cos (y)$ で割ります。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

微分積分 例

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