微分積分例

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ および

g (x) = 2 y

$g (x) = 2 y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

2 y

$2 y$ とします。

\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.1.2

u

$u$ に関する

cos (u)

$\cos (u)$ の微分係数は

- sin (u)

$- \sin (u)$ です。

- sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.1.3

u

$u$ のすべての発生を

2 y

$2 y$ で置き換えます。

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

2

$2$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

2 y

$2 y$ の微分係数は

2 \frac{d}{d x} [y]

$2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

- sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

2

$2$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ を

y'

$y'$ に書き換えます。

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

ステップ 3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

1

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

ステップ 5

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ の各項を

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ の各項を

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ で割ります。

\frac{- 2 sin (2 y) y'}{- 2 sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 sin (2 y)}

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

- 2

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

ステップ 5.2.2

$\sin (2 y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を

$1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ を

$\csc (2 y)$ に変換します。

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

ステップ 5.3.4

$\csc (2 y)$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

ステップ 6

$y'$ を

$\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

微分積分 例

微分積分例