微分積分例

$3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2} = 10 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}) = \frac{d}{d x} (10 x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 y}{x + 2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$ です。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = y$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.4

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.6

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.9

$- 4$ と $\frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{- 4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4.10

分数の前に負数を移動させます。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y' + 2 y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y') + 4 (2 y') + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2$ に $4$ をかけます。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ を掛けます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{2}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (2 x)$

ステップ 3.3

$2$ に $10$ をかけます。

$20 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 ((x + 2) (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 4 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.4

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.5.2

$3$ に $4$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.6

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.7.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.7.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.1.8

括弧を削除します。

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, {(x + 2)}^{2}, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

${(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.3

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ の各項に ${(x + 2)}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ の各項に ${(x + 2)}^{2}$ を掛けます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$20 x {(x + 2)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

書き換えます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 0 + 0 + 20 x {(x + 2)}^{2}$

ステップ 5.4.1.2

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x ((x + 2) (x + 2))$

ステップ 5.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

ステップ 5.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

ステップ 5.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.4.1.4.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 5.4.1.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

ステップ 5.4.1.4.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 4 x + 4)$

ステップ 5.4.1.5

分配則を当てはめます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x \cdot x^{2} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x^{1}) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{2 + 1} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 20 x \cdot 4$

ステップ 5.4.1.6.3

$4$ に $20$ をかけます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 80 x$

ステップ 5.4.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.7.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 (x \cdot x) + 80 x$

ステップ 5.4.1.7.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x^{2} + 80 x$

ステップ 5.4.1.7.2

$20$ に $4$ をかけます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x$

ステップ 5.4.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2}$

ステップ 5.4.2.2

方程式の両辺から $12 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 5.4.2.3

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12$

ステップ 5.4.2.4

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.2.5

$80 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 80 x - 12 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.2.6

$80 x$ から $12 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$y'$ を $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2}$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.3.2

$y'$ を $- 4 x y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.3.3

$y'$ を $- 8 y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.3.4

$y'$ を $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x)$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.3.5

$y'$ を $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.4

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$y' (3 y^{2} ((x + 2) (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.1

分配則を当てはめます。

$y' (3 y^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.5.2

分配則を当てはめます。

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.5.3

分配則を当てはめます。

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.6.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.6.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.7

分配則を当てはめます。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 y^{2} (4 x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.9

$3$ に $4$ をかけます。

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

ステップ 5.4.10

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ の各項を $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.1

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ の各項を $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.2.1

$3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.4.10.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.2.2

$x^{2}$ を $20 x^{3} + 77 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.1.2.2.1

$x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.2.2.2

$x^{2}$ を $77 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.2.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.2.1

$x$ を $x^{2} (20 x + 77) + 68 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.2.1.1

$x$ を $x^{2} (20 x + 77)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.1.2

$x$ を $68 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.1.3

$x$ を $x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (x (20 x + 77) + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{x (x (20 x) + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.4

$77$ を $x$ の左に移動させます。

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.2.5.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{x (20 (x \cdot x) + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68) - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{x (20 x^{2}) + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.2.3

$68$ を $x$ の左に移動させます。

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.3.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.3.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y' = \frac{20 (x^{2} x) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{20 (x^{2} x^{1}) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{20 x^{2 + 1} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.3.2.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 (x \cdot x) + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4

因数分解した形で $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.4.1

有理根検定を用いて $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2, \pm 12, \pm 0.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.15, \pm 0.75, \pm 4, \pm 0.8$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

$20 {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$20 \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.3

$20$ に $- 8$ をかけます。

$- 160 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.4

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 160 + 77 \cdot 4 + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.5

$77$ に $4$ をかけます。

$- 160 + 308 + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.6

$- 160$ と $308$ をたし算します。

$148 + 68 \cdot - 2 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.7

$68$ に $- 2$ をかけます。

$148 - 136 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.8

$148$ から $136$ を引きます。

$12 - 12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.3.9

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{x + 2}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5

$20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ を $x + 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$20 x^{3}$

$77 x^{2}$

$68 x$

$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.2

被除数 $20 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$20 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			+	$20 x^{3}$	+	$40 x^{2}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $20 x^{3} + 40 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.7

被除数 $37 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					+	$37 x^{2}$	+	$74 x$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $37 x^{2} + 74 x$ の符号をすべて変更します。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.12

被除数 $- 6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x - 12$ の符号をすべて変更します。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$20 x^{2} + 37 x - 6$

ステップ 5.4.10.3.4.4.1.6

$20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ を因数の集合として書き換えます。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ で和が $b = 37$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.4.10.3.4.4.2.1.1

$37$ を $37 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 (x) - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.1.2

$37$ を $- 3$ プラス $40$ に書き換える

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + (- 3 + 40) x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} - 3 x + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.4.10.3.4.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x^{2} - 3 x) + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y' = \frac{(x + 2) (x (20 x - 3) + 2 (20 x - 3))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.4.2.3

最大公約数 $20 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x - 3) (x + 2))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x - 3) (x + 2)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.5

指数をまとめます。

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ステップ 5.4.10.3.4.5.1

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.5.2

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1 + 1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.4.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3) - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.10.3.6.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x) + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.6.3

$- 3$ を ${(x + 2)}^{2}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 5.4.10.3.7

$\frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

微分積分 例

微分積分例