微分積分例

$x = \sqrt{1 + \cot (3 t)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + \cot (3 t)}$ を ${(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ({(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$t$ に関する $x$ の微分係数は $x'$ です。

$x'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 1 + \cot (3 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + \cot (3 t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + \cot (3 t)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.6

微分します。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

ステップ 4.6.3

総和則では、 $1 + \cot (3 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

ステップ 4.6.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

ステップ 4.6.5

$0$ と $\frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$

ステップ 4.7

$f (t) = \cot (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 t$ とします。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.7.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.8

微分します。

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ステップ 4.8.1

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ と $\csc^{2} (3 t)$ をまとめます。

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 4.8.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.8.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.8.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.8.3.2

$- 3$ と $\frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.8.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 4.8.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x' = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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