微分積分例

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 u' - 3}$ を ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$u'$ に関する $u$ の微分係数は $u'$ です。

$u'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (u') = {u'}^{2}$ および $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ は $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ であるという積の法則を使って微分します。

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.2

$f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ および $g (u') = 8 u' - 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ は $f' (g (u')) g' (u')$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 u' - 3$ とします。

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $8 u' - 3$ で置き換えます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.7.4

$\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${u'}^{2}$ をまとめます。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.8

総和則では、 $8 u' - 3$ の $u'$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ です。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.9

$8$ は $u'$ に対して定数なので、 $u'$ に対する $8 u'$ の微分係数は $8 \frac{d}{d v} [u']$ です。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ は $n {u'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.11

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.12

$- 3$ は $u'$ について定数なので、 $u'$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.13

項を簡約します。

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ステップ 4.13.1

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.13.2

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.13.3

$8$ を ${u'}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.13.4

$2$ を $8 {u'}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.14

共通因数を約分します。

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ステップ 4.14.1

$2$ を $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.14.3

式を書き換えます。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

ステップ 4.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ は $n {u'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

ステップ 4.16

$2$ を ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

ステップ 4.17

公分母を利用して $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ を組み合わせます。

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ステップ 4.17.1

${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.17.2

$2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18

指数を足して ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.18.1

${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19

$2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20

簡約します。

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ステップ 4.20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.20.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.20.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.2

指数を足して $u'$ に $u'$ を掛けます。

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ステップ 4.20.2.1.2.1

$u'$ を移動させます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.2.2

$u'$ に $u'$ をかけます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.3

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.1.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.2.2

$4 {u'}^{2}$ と $16 {u'}^{2}$ をたし算します。

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3

$2 u'$ を $20 {u'}^{2} - 6 u'$ で因数分解します。

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ステップ 4.20.3.1

$2 u'$ を $20 {u'}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3.2

$2 u'$ を $- 6 u'$ で因数分解します。

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20.3.3

$2 u'$ を $2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 7

$u'$ を $\frac{d u}{d v}$ で置き換えます。

$\frac{d u}{d v}$

微分積分 例

微分積分例