微分積分例

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2} e^{3 x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.3

式を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

ステップ 3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 3.5.2.1

$3$ に $5$ をかけます。

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

ステップ 3.5.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

ステップ 3.5.4

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ の因数を並べ替えます。

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

微分積分 例

微分積分例