微分積分例

$\sqrt{x y}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x y}$ を ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 8

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$y$ と $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 11

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 12.2

項をまとめます。

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ステップ 12.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.2.2.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 12.2.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例