微分積分例

$y = e^{\tan (π t)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\tan (π t)})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = \tan (π t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (π t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (π t)$ で置き換えます。

$e^{\tan (π t)} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

ステップ 3.2

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = π t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π t$ とします。

$e^{\tan (π t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π t$ で置き換えます。

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $π t$ の微分係数は $π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \cdot 1)$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$

ステップ 3.3.3.2

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$ の因数を並べ替えます。

$π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

微分積分 例

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