微分積分例

$y = e^{7 \sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $7 x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

微分します。

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ステップ 4.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 4.9

$7$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.12

$7$ を $e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$ の左に移動させます。

$\frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例