微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $3 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$6 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$x$ を $3 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.4.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例