微分積分例

$y = {(4 x - 5)}^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 5)}^{2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

${(4 x - 5)}^{2}$ を $(4 x - 5) (4 x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(4 x - 5) (4 x - 5)]$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x - 5) (4 x - 5)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 5) - 5 (4 x - 5)]$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x - 5)]$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.4

$- 5$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.5

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 20 x - 5 \cdot - 5]$

ステップ 3.3.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 20 x + 25]$

ステップ 3.3.2

$- 20 x$ から $20 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 40 x + 25]$

ステップ 3.4

総和則では、 $16 x^{2} - 40 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.5

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.7

$2$ に $16$ をかけます。

$32 x + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.8

$- 40$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 40 x$ の微分係数は $- 40 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 x - 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 x - 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.10

$- 40$ に $1$ をかけます。

$32 x - 40 + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 3.11

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$32 x - 40 + 0$

ステップ 3.12

$32 x - 40$ と $0$ をたし算します。

$32 x - 40$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 32 x - 40$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 40$

微分積分 例

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