微分積分例

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 9 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $9 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

ステップ 2.2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 y$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$9$ と $\frac{1}{9 y}$ をまとめます。

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} y'$

ステップ 2.4

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{y}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{y}$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.3.3.2

$5$ を $e^{y} \cos (5 x)$ の左に移動させます。

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

ステップ 5.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ の因数を並べ替えます。

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$5 y e^{y} \cos (5 x)$ と $y' y e^{y} \sin (5 x)$ を並べ替えます。

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y' y e^{y} \sin (5 x)$ を引きます。

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ で因数分解します。

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

ステップ 5.3.4

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ の各項を $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ の各項を $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$1 - y e^{y} \sin (5 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

微分積分 例

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