微分積分例

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + \tan (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 + \tan (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ をたし算します。

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

ステップ 3.6

$1 + \tan (y)$ に $1$ をかけます。

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ として書き換えます。

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ の因数を並べ替えます。

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

ステップ 5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $\tan (y)$ を引きます。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

ステップ 5.3.3

正弦と余弦に関して $\tan (y)$ を書き換えます。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

ステップ 5.3.4

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を $\tan (y)$ に変換します。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

ステップ 5.4

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ の各項を $x \sec^{2} (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ の各項を $x \sec^{2} (y)$ で割ります。

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.2.2

$\sec^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$\sec (y)$ を $\sec^{2} (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.5

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.6

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.7

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.8

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.9

$\frac{1}{x}$ と $\cos (y)$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10

$\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ を掛けます。

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ステップ 5.4.3.1.10.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (y)}{x}$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10.2

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ と $\cos (y)$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10.3

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10.4

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.10.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.11

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.11.1

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.11.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (y)}$ に当てはめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.11.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.12

$x$ と $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.13

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

ステップ 5.4.3.1.14

$\sec (y)$ を $\sec^{2} (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

ステップ 5.4.3.1.15

分数を分解します。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

ステップ 5.4.3.1.16

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

ステップ 5.4.3.1.17

正弦と余弦に関して $\tan (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

ステップ 5.4.3.1.18

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

ステップ 5.4.3.1.19

$\cos (y)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

ステップ 5.4.3.1.20

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.20.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

ステップ 5.4.3.1.20.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.21

分数を分解します。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.22

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.23

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.24

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.25

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.26

$\cos (y)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

ステップ 5.4.3.1.27

$\sin (y)$ と $\frac{\cos (y)}{x}$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

微分積分 例

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