微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} \sin (x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (2 - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.7

$\cos (x - 2)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.10

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \cos (x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 2.4

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 2.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{2}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 2)}{2}$

ステップ 4.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2}$

ステップ 4.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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