微分積分例

$y = - \frac{x}{y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{x}{y}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

ステップ 3.6.2

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y' y^{2} = - (y - x y')$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

ステップ 5.2.1.3

$- (- x y')$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

ステップ 5.2.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y' y^{2} = - y + x y'$

ステップ 5.2.1.4

$x$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' y^{2} = - y + y' x$

ステップ 5.2.1.5

$- y$ と $y' x$ を並べ替えます。

$y' y^{2} = y' x - y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y' x$ を引きます。

$y' y^{2} - y' x = - y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' y^{2} - y' x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $- y' x$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ で因数分解します。

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

ステップ 5.3.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y' (y^{2} - x) = - y$

ステップ 5.3.4

$y' (y^{2} - x) = - y$ の各項を $y^{2} - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' (y^{2} - x) = - y$ の各項を $y^{2} - x$ で割ります。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$y^{2} - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$

微分積分 例

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