微分積分例

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin^{4} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x)$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.1.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ を $\sec^{3} (x)$ に変換します。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x)$

ステップ 4.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.4.4

$2$ と $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ をまとめます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

ステップ 4.4.5

$\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2

分数を分解します。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

ステップ 4.5.4

$1$ を掛けます。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x)$

ステップ 4.5.5

分数を分解します。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

ステップ 4.5.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 4.5.7

$2$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

微分積分 例

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