微分積分例

$y = x^{\cos (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\cos (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{\cos (x)}$ を $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

ステップ 3.1.2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\cos (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 3.7.2

$e^{\cos (x) \ln (x)}$ と $\frac{\cos (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.7.3

項を並べ替えます。

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

微分積分 例

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