微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.3.4

最終解は $x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2}}{x + 1}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 1}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{- 2 + 1}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{- 1}$

ステップ 4.2.2.3

$4$ を $- 1$ で割ります。

$- 4$

ステップ 4.3

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (- 2, - 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例