微分積分例

$y = 3 x^{2} + 4 x$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

ステップ 2

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$6 x + 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$6 x = - 4$

ステップ 3.2

$6 x = - 4$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6 x = - 4$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{6}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

ステップ 3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 4

$x = - \frac{2}{3}$ における元の関数 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.7

$4 (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.2.1.7.2

$- 4$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

ステップ 4.2.1.7.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

ステップ 4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 4.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

ステップ 4.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{4}{3}$ です。

$- \frac{4}{3}$

ステップ 5

関数 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ の水平接線は $y = - \frac{4}{3}$ です。

$y = - \frac{4}{3}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例