微分積分例

$y = 2 + 8 x - x^{2}$

ステップ 1

$2 + 8 x - x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$2$ を移動させます。

$y = 8 x - x^{2} + 2$

ステップ 1.2

$8 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 8 x + 2$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $- x^{2} + 8 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x + 8 + 0$

ステップ 3.4.2

$- 2 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x + 8$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- 2 x = - 8$

ステップ 4.2

$- 2 x = - 8$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2 x = - 8$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{- 2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 8$ を $- 2$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 5

$x = 4$ における元の関数 $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4) + 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4) + 2$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f (4) = - 16 + 8 (4) + 2$

ステップ 5.2.1.3

$8$ に $4$ をかけます。

$f (4) = - 16 + 32 + 2$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 16$ と $32$ をたし算します。

$f (4) = 16 + 2$

ステップ 5.2.2.2

$16$ と $2$ をたし算します。

$f (4) = 18$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $18$ です。

$18$

ステップ 6

関数 $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ の水平接線は $y = 18$ です。

$y = 18$

ステップ 7

微分積分 例

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