微分積分例

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

ステップ 2.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$6$ を $6 x^{2} + 6 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

ステップ 3.1.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

ステップ 3.1.1.3

$6$ を $- 12$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 3.1.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 3.1.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

ステップ 3.1.2

因数分解。

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ステップ 3.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 3.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 3.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.5

最終解は $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2$

ステップ 4

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.1.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = 5 - 12 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$5$ から $12$ を引きます。

$f (1) = - 7 + 1$

ステップ 4.2.2.3

$- 7$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 6$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 5

$x = - 2$ における元の関数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.4

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.5

$- 12$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 16$ と $12$ をたし算します。

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ と $24$ をたし算します。

$f (- 2) = 20 + 1$

ステップ 5.2.2.3

$20$ と $1$ をたし算します。

$f (- 2) = 21$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $21$ です。

$21$

ステップ 6

関数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ の水平接線は $y = - 6, y = 21$ です。

$y = - 6, y = 21$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例