微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{3} - 4 x$ です。

$x^{3} - 4 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{3} - 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{3} - 4 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.7

最終解は $x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 2, 2$ です。

$0, - 2, 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = - 27 + 12$

ステップ 5.2.2

$- 27$ と $12$ をたし算します。

$f' (- 3) = - 15$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 15$ です。

$- 15$

ステップ 5.3

$x = - 3$ で微分係数は $- 15$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 1 + 4$

ステップ 6.2.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 1) = 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $3$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 1 - 4$

ステップ 7.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (1) = - 3$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

ステップ 8.2.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 27 - 12$

ステップ 8.2.2

$27$ から $12$ を引きます。

$f' (3) = 15$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $15$ です。

$15$

ステップ 8.3

$x = 3$ で微分係数は $15$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 2, 0), (2, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 2), (0, 2)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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