微分積分例

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 18 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

$3 x^{2} + 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 36 x$ です。

$3 x^{2} + 36 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2.2

$3 x$ を $3 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) + 36 x = 0$

ステップ 2.2.2

$3 x$ を $36 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (12) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (12)$ で因数分解します。

$3 x (x + 12) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 12 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x + 12 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$x = - 12$

ステップ 2.6

最終解は $3 x (x + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 12$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 12$ です。

$0, - 12$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 12)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 13$ で置換えます。

$f' (- 13) = 3 {(- 13)}^{2} + 36 (- 13)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 13$ を $2$ 乗します。

$f' (- 13) = 3 \cdot 169 + 36 (- 13)$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $169$ をかけます。

$f' (- 13) = 507 + 36 (- 13)$

ステップ 5.2.1.3

$36$ に $- 13$ をかけます。

$f' (- 13) = 507 - 468$

ステップ 5.2.2

$507$ から $468$ を引きます。

$f' (- 13) = 39$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $39$ です。

$39$

ステップ 5.3

$x = - 13$ で微分係数は $39$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 12)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 12)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 12, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 + 36 (- 6)$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = 108 + 36 (- 6)$

ステップ 6.2.1.3

$36$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = 108 - 216$

ステップ 6.2.2

$108$ から $216$ を引きます。

$f' (- 6) = - 108$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 108$ です。

$- 108$

ステップ 6.3

$x = - 6$ で微分係数は $- 108$ です。これは負の値なので、関数は $(- 12, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 12, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 36 (1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 36 (1)$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 36 (1)$

ステップ 7.2.1.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 36$

ステップ 7.2.2

$3$ と $36$ をたし算します。

$f' (1) = 39$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $39$ です。

$39$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $39$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 12), (0, \infty)$ で増加

$(- 12, 0)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例