微分積分例

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ です。

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 2$ を $4$ プラス $- 6$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $3 x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$3 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x = - 4$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{4}{3}, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{4}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{4}{3}$ を $x$ に代入します。

$- {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$- ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

${(- 1)}^{3}$ を移動させます。

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2.2

${(- 1)}^{3}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 4.1.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

${(- 1)}^{4} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$\frac{4^{3}}{3^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.5

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.6

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.7.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{64}{27} + 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.9

$\frac{4^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.10

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.11

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.12

$8 (- \frac{4}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.12.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.12.2

$- 8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.12.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{16}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{16}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 1$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

ステップ 4.1.2.2.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 32$ に $9$ をかけます。

$\frac{64 + 48 - 288 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$64$ と $48$ をたし算します。

$\frac{112 - 288 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5.2

$112$ から $288$ を引きます。

$\frac{- 176 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5.3

$- 176$ と $27$ をたし算します。

$\frac{- 149}{27}$

ステップ 4.1.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{149}{27}$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$- {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 4 + 8 (2) + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$8$ に $2$ をかけます。

$- 8 + 4 + 16 + 1$

ステップ 4.2.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$- 4 + 16 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 4$ と $16$ をたし算します。

$12 + 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$12$ と $1$ をたし算します。

$13$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{4}{3}, - \frac{149}{27}), (2, 13)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例