微分積分 例

変曲点を求める f(x)=x/(4x^2-1)
ステップ 1
二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 1.1.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.2
をかけます。
ステップ 1.1.2.3
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.1.2.4
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.2.5
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.6
をかけます。
ステップ 1.1.2.7
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.1.2.8
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.8.1
をたし算します。
ステップ 1.1.2.8.2
をかけます。
ステップ 1.1.3
乗します。
ステップ 1.1.4
乗します。
ステップ 1.1.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.6
をたし算します。
ステップ 1.1.7
からを引きます。
ステップ 1.2
二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 1.2.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.2.1
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.2.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 1.2.2.1.2
をかけます。
ステップ 1.2.2.2
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.2.2.3
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.2.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.2.5
をかけます。
ステップ 1.2.2.6
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.2.2.7
をたし算します。
ステップ 1.2.3
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.3.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.2.4
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.1
をかけます。
ステップ 1.2.4.2
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.2.4.3
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.4.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.4.5
をかけます。
ステップ 1.2.4.6
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.2.4.7
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.7.1
をたし算します。
ステップ 1.2.4.7.2
の左に移動させます。
ステップ 1.2.4.7.3
をかけます。
ステップ 1.2.5
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.2
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.3
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.3.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.3.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.4
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.4.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.2.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.3
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.4
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.5
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.1.6
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.4.2
からを引きます。
ステップ 1.2.5.3.1.5
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.6.1
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.6.2
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.6.3
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.7
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.8
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.8.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.8.1.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2.1
乗します。
ステップ 1.2.5.3.1.8.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.8.1.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.8.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.8.2.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2.1
乗します。
ステップ 1.2.5.3.1.8.2.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.8.2.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.9
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.9.1
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.9.2
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.10
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.10.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.10.1.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2.1
乗します。
ステップ 1.2.5.3.1.10.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.10.1.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.10.2
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.11
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.11.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.11.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.11.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.3.1.12
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.12.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.2.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.3
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1
乗します。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.5.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.6
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.7
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.1.8
をかけます。
ステップ 1.2.5.3.1.12.2
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.1.12.3
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.2
をたし算します。
ステップ 1.2.5.3.3
からを引きます。
ステップ 1.2.5.4
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.4.1
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.4.1.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.1.2
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.1.3
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.1.4
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.1.5
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.2
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.4.3
とします。に代入します。
ステップ 1.2.5.4.4
群による因数分解。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.4.4.1
の形の多項式について、積がで和がである2項の和に中央の項を書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.4.4.1.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.4.1.2
プラスに書き換える
ステップ 1.2.5.4.4.1.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.2.5.4.4.2
各群から最大公約数を因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.4.4.2.1
前の2項と後ろの2項をまとめます。
ステップ 1.2.5.4.4.2.2
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.4.3
最大公約数を因数分解して、多項式を因数分解します。
ステップ 1.2.5.4.5
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.2.5.4.6
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.4.7
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.4.8
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 1.2.5.5
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.5.1
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.5.2
に書き換えます。
ステップ 1.2.5.5.3
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 1.2.5.5.4
積の法則をに当てはめます。
ステップ 1.2.5.6
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.6.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.6.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.6.2.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.6.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 1.2.5.6.2.3
式を書き換えます。
ステップ 1.2.5.7
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.7.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.7.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.5.7.2.1
で因数分解します。
ステップ 1.2.5.7.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 1.2.5.7.2.3
式を書き換えます。
ステップ 1.3
に関するの二次導関数はです。
ステップ 2
二次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
二次導関数をに等しくします。
ステップ 2.2
分子を0に等しくします。
ステップ 2.3
について方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 2.3.2
に等しいとします。
ステップ 2.3.3
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.1
に等しいとします。
ステップ 2.3.3.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 2.3.3.2.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 2.3.3.2.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.2.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.2.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.3.2.2.2.1.2
で割ります。
ステップ 2.3.3.2.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.2.3.1
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 2.3.3.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 2.3.3.2.4
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.4.1
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.4.1.1
に書き換えます。
ステップ 2.3.3.2.4.1.2
から完全累乗を因数分解します。
ステップ 2.3.3.2.4.1.3
から完全累乗を因数分解します。
ステップ 2.3.3.2.4.1.4
分数を並べ替えます。
ステップ 2.3.3.2.4.1.5
に書き換えます。
ステップ 2.3.3.2.4.2
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 2.3.3.2.4.3
をまとめます。
ステップ 2.3.3.2.5
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.3.2.5.1
まず、の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
ステップ 2.3.3.2.5.2
次に、の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
ステップ 2.3.3.2.5.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 2.3.4
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 3
二次導関数がである点を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
に代入し、の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.1
式の変数で置換えます。
ステップ 3.1.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.1
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 3.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 3.1.2.1.3
からを引きます。
ステップ 3.1.2.2
で割ります。
ステップ 3.1.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 3.2
で代入して求めた点は、です。この点は変曲点となり得ます。
ステップ 4
変曲点となりうる点の周囲でを区間に分割します。
ステップ 5
区間から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
式の変数で置換えます。
ステップ 5.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1.1
をかけます。
ステップ 5.2.1.2
をかけます。
ステップ 5.2.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.2.1
をかけます。
ステップ 5.2.2.2
をたし算します。
ステップ 5.2.2.3
をかけます。
ステップ 5.2.2.4
からを引きます。
ステップ 5.2.2.5
乗します。
ステップ 5.2.2.6
乗します。
ステップ 5.2.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.3.1
をかけます。
ステップ 5.2.3.2
で割ります。
ステップ 5.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 5.3
で二次導関数はです。これは正の値なので、の区間で増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 6
区間から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の変数で置換えます。
ステップ 6.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1.1
をかけます。
ステップ 6.2.1.2
をかけます。
ステップ 6.2.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.2.1
をかけます。
ステップ 6.2.2.2
をたし算します。
ステップ 6.2.2.3
をかけます。
ステップ 6.2.2.4
からを引きます。
ステップ 6.2.2.5
乗します。
ステップ 6.2.2.6
乗します。
ステップ 6.2.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.3.1
をかけます。
ステップ 6.2.3.2
で割ります。
ステップ 6.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 6.3
で二次導関数はです。これは負の値なので、の区間で減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 7
変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点はです。
ステップ 8