微分積分例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 3$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2

$2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

${(x^{2} + 3)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 3$ とします。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2.2

$x^{2} + 3$ を $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ で因数分解します。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2.3

$x^{2} + 3$ を $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ で因数分解します。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.6.3

式を書き換えます。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.16

$6$ と $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.2.1

$- 3$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ です。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$- 18 x^{2} = - 18$

ステップ 3.3.2

$- 18 x^{2} = - 18$ の各項を $- 18$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 18 x^{2} = - 18$ の各項を $- 18$ で割ります。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$- 18$ を $- 18$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, \frac{1}{4})$

ステップ 4.3

$- 1$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 4.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

ステップ 4.3.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, \frac{1}{4})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 18$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 21.78$ と $18$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$1.21$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$4.21$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

ステップ 6.2.3

$- 3.78$ を $74.618461$ で割ります。

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.0506577$ です。

$- 0.0506577$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $- 0.0506577$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 18$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ と $18$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

ステップ 7.2.3

$18$ と $27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $0.\overline{6}$ です。これは正の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, 1)$ で増加

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 18$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 21.78$ と $18$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$1.21$ と $3$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$4.21$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

ステップ 8.2.3

$- 3.78$ を $74.618461$ で割ります。

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.0506577$ です。

$- 0.0506577$

ステップ 8.3

$1.1$ で二次導関数は $- 0.0506577$ です。これは負の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(1, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ です。

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例