微分積分例

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

ステップ 1

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ を関数で書きます。

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{6}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$42$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $42 x^{5}$ の微分係数は $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.3.3

$5$ に $42$ をかけます。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 42 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$- 42$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 42 x$ の微分係数は $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.4.3

$- 42$ に $1$ をかけます。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

ステップ 2.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$19$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $19$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{5}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.2.3

$5$ に $- 6$ をかけます。

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$210$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $210 x^{4}$ の微分係数は $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.3.3

$4$ に $210$ をかけます。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 2.2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 42$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 42$ の微分係数は $0$ です。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

ステップ 2.2.4.2

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ です。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

ステップ 3.2

$- 30 x^{3}$ を $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 30 x^{3}$ を $- 30 x^{4}$ で因数分解します。

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

$- 30 x^{3}$ を $840 x^{3}$ で因数分解します。

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

ステップ 3.2.3

$- 30 x^{3}$ を $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ で因数分解します。

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

ステップ 3.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x - 28$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x - 28$ が $0$ に等しいとします。

$x - 28 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $28$ を足します。

$x = 28$

ステップ 3.6

最終解は $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 28$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

ステップ 4.1.2.1.4

$42$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 42$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 19$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 19$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $19$ をたし算します。

$f (0) = 19$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $19$ です。

$19$

ステップ 4.2

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 19)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 19)$

ステップ 4.3

$28$ を $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $28$ で置換えます。

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$28$ を $6$ 乗します。

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ に $481890304$ をかけます。

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

ステップ 4.3.2.1.3

$28$ を $5$ 乗します。

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

ステップ 4.3.2.1.4

$42$ に $17210368$ をかけます。

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 42$ に $28$ をかけます。

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 481890304$ と $722835456$ をたし算します。

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

ステップ 4.3.2.2.2

$240945152$ から $1176$ を引きます。

$f (28) = 240943976 + 19$

ステップ 4.3.2.2.3

$240943976$ と $19$ をたし算します。

$f (28) = 240943995$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $240943995$ です。

$240943995$

ステップ 4.4

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ で代入して $28$ 求めた点は、 $(28, 240943995)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(28, 240943995)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 19), (28, 240943995)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 6.2.1.2

$- 30$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

ステップ 6.2.1.4

$840$ に $- 0.001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

ステップ 6.2.2

$- 0.003$ から $0.84$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.843$ です。

$- 0.843$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.843$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 28)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $14$ で置換えます。

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$14$ を $4$ 乗します。

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

ステップ 7.2.1.2

$- 30$ に $38416$ をかけます。

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

ステップ 7.2.1.3

$14$ を $3$ 乗します。

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

ステップ 7.2.1.4

$840$ に $2744$ をかけます。

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

ステップ 7.2.2

$- 1152480$ と $2304960$ をたし算します。

$f'' (14) = 1152480$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1152480$ です。

$1152480$

ステップ 7.3

$14$ で二次導関数は $1152480$ です。これは正の値なので、 $(0, 28)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, 28)$ で増加

ステップ 8

区間 $(28, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $28.1$ で置換えます。

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$28.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

ステップ 8.2.1.2

$- 30$ に $623483.9521$ をかけます。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

ステップ 8.2.1.3

$28.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

ステップ 8.2.1.4

$840$ に $22188.041$ をかけます。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

ステップ 8.2.2

$- 18704518.563$ と $18637954.44$ をたし算します。

$f'' (28.1) = - 66564.123$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 66564.123$ です。

$- 66564.123$

ステップ 8.3

$28.1$ で二次導関数は $- 66564.123$ です。これは負の値なので、 $(28, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(28, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(0, 19), (28, 240943995)$ です。

$(0, 19), (28, 240943995)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例