微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} + 7}$ を ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 7$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.1.3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.3

${(x^{2} + 7)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 7$ とします。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 7$ で置き換えます。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2} + 7$ を ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x^{2} + 7$ を ${(x^{2} + 7)}^{2}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.2

$x^{2} + 7$ を $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.3

$x^{2} + 7$ を $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

ステップ 1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{2} + 7$ を ${(x^{2} + 7)}^{4}$ で因数分解します。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.6.3

式を書き換えます。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.9

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.16

$- 2$ と $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.3

$2$ を $- 6 x^{2} + 14$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.3.1

$2$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.3.2

$2$ を $14$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.3.3

$2$ を $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.5

$7$ を $- 1 (- 7)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.7

$- (3 x^{2} - 7)$ を $- 1 (3 x^{2} - 7)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.10

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ です。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$3 x^{2} - 7$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x^{2} = 7$

ステップ 2.3.3

$3 x^{2} = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 x^{2} = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{7}{3}$

ステップ 2.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

ステップ 2.3.5

$\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\sqrt{\frac{7}{3}}$ を $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.2

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.3.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.3.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.3.5.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

ステップ 2.3.5.4.2

$7$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{21}}{3}$ を $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{21}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{21}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.4

$21$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$3$ を $21$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

ステップ 3.1.2.1.5

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.1.2.1.6

$7$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.2.1.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.2.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.8.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

ステップ 3.1.2.1.8.2

$7$ と $21$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

ステップ 3.1.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

ステップ 3.1.2.3

$\frac{3}{28}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $\frac{3}{28}$ です。

$\frac{3}{28}$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ で代入して $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

ステップ 3.3

$- \frac{\sqrt{21}}{3}$ を $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{21}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

ステップ 3.3.2.1.3

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.4.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.6

$21$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.1

$3$ を $21$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

ステップ 3.3.2.1.7

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.3.2.1.8

$7$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.3.2.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.3.2.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.10.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

ステップ 3.3.2.1.10.2

$7$ と $21$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

ステップ 3.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{3}{28}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

ステップ 3.3.2.4

最終的な答えは $\frac{3}{28}$ です。

$\frac{3}{28}$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ で代入して $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.62752523$ で置換えます。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.62752523$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $2.64883837$ をかけます。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$7.94651513$ から $7$ を引きます。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1.62752523$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$2.64883837$ と $7$ をたし算します。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$9.64883837$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $0.94651513$ をかけます。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

ステップ 5.2.3.2

$1.89303027$ を $898.30764509$ で割ります。

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $0.00210732$ です。

$0.00210732$

ステップ 5.3

$- 1.62752523$ で二次導関数は $0.00210732$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ から $7$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$7$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

ステップ 6.2.3.2

$- 14$ と $343$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$7$ を $- 14$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$7$ を $343$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{2}{49}$ です。

$- \frac{2}{49}$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $- 0.04081632$ です。これは負の値なので、 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.62752523$ で置換えます。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.62752523$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $2.64883837$ をかけます。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$7.94651513$ から $7$ を引きます。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$1.62752523$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$2.64883837$ と $7$ をたし算します。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$9.64883837$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $0.94651513$ をかけます。

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

ステップ 7.2.3.2

$1.89303027$ を $898.30764509$ で割ります。

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.00210732$ です。

$0.00210732$

ステップ 7.3

$1.62752523$ で二次導関数は $0.00210732$ です。これは正の値なので、 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ です。

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例