微分積分例

$y = x - \sin (x)$

ステップ 1

$y = x - \sin (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

微分します。

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ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 2.2.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 2.2.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = \sin (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\sin (x)$ です。

$\sin (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 3.5

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$f (x) = x - \sin (x)$ で代入して求めた点は、 $(,)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(,)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty,)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $\sin (- 0.1)$ です。

$\sin (- 0.1)$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.09983341$ です。これは負の値なので、 $(- \infty,)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty,)$ で減少

ステップ 7

区間 $(, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

ステップ 7.2

最終的な答えは $\sin (0.1)$ です。

$\sin (0.1)$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $0.09983341$ です。これは正の値なので、 $(, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(,)$ です。

$(,)$

ステップ 9

微分積分 例

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