微分積分例

$y = 6 x^{4} + 8 x^{3}$

ステップ 1

$y = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $6 x^{4} + 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{4}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ に $6$ をかけます。

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$24 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $24 x^{3} + 24 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{3}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $24$ をかけます。

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$72 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$72 x^{2} + 24 (2 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 72 x^{2} + 48 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $72 x^{2} + 48 x$ です。

$72 x^{2} + 48 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $72 x^{2} + 48 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$72 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 3.2

$24 x$ を $72 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$24 x$ を $72 x^{2}$ で因数分解します。

$24 x (3 x) + 48 x = 0$

ステップ 3.2.2

$24 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$24 x (3 x) + 24 x (2) = 0$

ステップ 3.2.3

$24 x$ を $24 x (3 x) + 24 x (2)$ で因数分解します。

$24 x (3 x + 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 3.5.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 3.6

最終解は $24 x (3 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 6 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$6$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- \frac{2}{3}$ を $f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{2^{4}}{3^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.4

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{16}{3^{4}}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.5

$3$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 6 (\frac{16}{81}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (2) (\frac{16}{81}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.6.2

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{16}{3 \cdot 27})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{16}{3 \cdot 27})) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.6.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = 2 (\frac{16}{27}) + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.7

$2$ と $\frac{16}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 16}{27} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.8

$2$ に $16$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

ステップ 4.3.2.1.9.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

ステップ 4.3.2.1.10

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

ステップ 4.3.2.1.11

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{8}{3^{3}})$

ステップ 4.3.2.1.12

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + 8 (- \frac{8}{27})$

ステップ 4.3.2.1.13

$8 (- \frac{8}{27})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} - 8 (\frac{8}{27})$

ステップ 4.3.2.1.13.2

$- 8$ と $\frac{8}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + \frac{- 8 \cdot 8}{27}$

ステップ 4.3.2.1.13.3

$- 8$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} + \frac{- 64}{27}$

ステップ 4.3.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27} - \frac{64}{27}$

ステップ 4.3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 - 64}{27}$

ステップ 4.3.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$32$ から $64$ を引きます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 32}{27}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{32}{27}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $- \frac{32}{27}$ です。

$- \frac{32}{27}$

ステップ 4.4

$f (x) = 6 x^{4} + 8 x^{3}$ で代入して $- \frac{2}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.7\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 48 (- 0.7\overline{6})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.7\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 \cdot 0.58\overline{7} + 48 (- 0.7\overline{6})$

ステップ 6.2.1.2

$72$ に $0.58\overline{7}$ をかけます。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 + 48 (- 0.7\overline{6})$

ステップ 6.2.1.3

$48$ に $- 0.7\overline{6}$ をかけます。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 - 36.8$

ステップ 6.2.2

$42.32$ から $36.8$ を引きます。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 5.52$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $5.52$ です。

$5.52$

ステップ 6.3

$- 0.7\overline{6}$ で二次導関数は $5.52$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{2}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \frac{2}{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 48 (- 0.\overline{3})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 \cdot 0.\overline{1} + 48 (- 0.\overline{3})$

ステップ 7.2.1.2

$72$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 + 48 (- 0.\overline{3})$

ステップ 7.2.1.3

$48$ に $- 0.\overline{3}$ をかけます。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 - 16$

ステップ 7.2.2

$8$ から $16$ を引きます。

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 8$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 7.3

$- 0.\overline{3}$ で二次導関数は $- 8$ です。これは負の値なので、 $(- \frac{2}{3}, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \frac{2}{3}, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

ステップ 8.2.1.2

$72$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.72 + 48 (0.1)$

ステップ 8.2.1.3

$48$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.72 + 4.8$

ステップ 8.2.2

$0.72$ と $4.8$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 5.52$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $5.52$ です。

$5.52$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $5.52$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$ です。

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例