微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 3$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.3

${(x^{2} + 3)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 3$ とします。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.5.2.1

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5.2.2

$x^{2} + 3$ を $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5.2.3

$x^{2} + 3$ を $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$x^{2} + 3$ を ${(x^{2} + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.7

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 6 (\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.16

$6$ と $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.17

簡約します。

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ステップ 1.1.2.17.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.17.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.17.2.1

$- 3$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.17.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ です。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$- 18 x^{2} = - 18$

ステップ 1.2.3.2

$- 18 x^{2} = - 18$ の各項を $- 18$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 18 x^{2} = - 18$ の各項を $- 18$ で割ります。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- 18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 18$ を $- 18$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} = - 3$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 2.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 18$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 288$ と $18$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$19$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $- \frac{270}{6859}$ です。

$- \frac{270}{6859}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 18$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ と $18$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

ステップ 5.2.3

$18$ と $27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 1, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 18$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 288$ と $18$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$16$ と $3$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$19$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{270}{6859}$ です。

$- \frac{270}{6859}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例