微分積分例

$y = \frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 8})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 3 x - 9$ および $g (x) = 2 x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$3$ を $2 x + 8$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $2 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

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ステップ 3.2.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$3 (2 x)$ と $- 2 (3 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.2

$2 \cdot 3 x$ から $2 \cdot 3 x$ を引きます。

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.1.3

$3 \cdot 8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$24$ と $18$ をたし算します。

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $2 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

積の法則を $2 (x + 4)$ に当てはめます。

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$42$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.1

$2$ を $42$ で因数分解します。

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.2.1

$2$ を $4 {(x + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

ステップ 3.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

ステップ 3.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例