微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例