微分積分例

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$e$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

ステップ 6.2

$e$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.2

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.3

$\frac{1}{3}$ と $e^{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.6

$- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.7

$- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.10

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.11

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 6.3.11.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2.2

$e^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2.4

$- - \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2.4.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

ステップ 7.2.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

ステップ 7.2.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

ステップ 7.5

$e^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

ステップ 7.6

$e^{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

ステップ 7.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

ステップ 7.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

ステップ 7.9

$3$ を $e^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

ステップ 7.10

$3 e^{3}$ から $e^{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

ステップ 7.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.12

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.12.1

$\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 7.12.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

10進法形式：

$4.57456376 \dots$

微分積分 例

微分積分例