微分積分例

$\int_{0}^{2 π} x \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3.2

$\int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π} + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$x (- \cos (x))]_{0}^{2 π}$ と $\sin (x)]_{0}^{2 π}$ をまとめます。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{2 π}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 π$ および $0$ で $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ の値を求めます。

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.3

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + \sin (0))$

ステップ 5.2.2.4

$0$ と $\sin (0)$ をたし算します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - \sin (0)$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 0$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) + 0$

ステップ 5.3.3

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π)$

ステップ 5.4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π)$

ステップ 5.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 π + \sin (2 π)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π + \sin (0)$

ステップ 6.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π + 0$

ステップ 6.2

$- 2 π$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 π$

10進法形式：

$- 6.28318530 \dots$

微分積分 例

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