微分積分例

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 1 - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 1.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.2

$u = 1 - 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 8$

ステップ 1.5.2

$1$ から $8$ を引きます。

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

ステップ 2.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 7$ および $1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 7$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 343$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 6.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 6.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

ステップ 6.2.7

$- 343$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

ステップ 6.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

ステップ 6.2.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

ステップ 6.2.10

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

ステップ 6.2.11

$\frac{1}{4}$ に $\frac{344}{3}$ をかけます。

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.2.12

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{344}{12}$

ステップ 6.2.13

$344$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.13.1

$4$ を $344$ で因数分解します。

$\frac{4 (86)}{12}$

ステップ 6.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.13.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{86}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{86}{3}$

10進法形式：

$28.\overline{6}$

帯分数形：

$28 \frac{2}{3}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例