微分積分例

$\int_{0}^{1} {(2 t - 1)}^{2} d t$

ステップ 1

$u = 2 t - 1$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 t - 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 t - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 t - 1$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 - 1$

ステップ 1.3.2

$0$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 1.4

$u = 2 t - 1$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 - 1$

ステップ 1.5.2

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{1} u^{2} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{- 1}^{1} \frac{u^{2}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{1}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

ステップ 5.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

ステップ 5.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

ステップ 5.2.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{3}$

ステップ 5.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.8

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.9

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6}$

ステップ 5.2.10

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6}$

ステップ 5.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例