微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \sin (x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

ステップ 1.5

${\sqrt{π}}^{2}$ を $π$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{π}$ を $π^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π^{1}$

ステップ 1.5.5

簡約します。

$u_{upper} = π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{π}$

ステップ 5

$π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (0))$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + 1)$

ステップ 7.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

ステップ 7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- - 1 + 1)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 7.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 7.6.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例