微分積分例

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \ln (\sin (x))$ とします。次に $d u_{2} = \cot (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \ln (\sin (x))$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (\sin (x))$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\csc (x) \cos (x)$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$\csc (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x) \csc (x)$

ステップ 1.1.5.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.5.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.5.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cot (x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (\sin (x))$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例