微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

ステップ 1

$\cos^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

ステップ 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 4.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5

${(1 - u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ を $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 5.5

$u^{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 5.6

$u^{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.11

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 5.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 5.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 5.14

$- u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 5.15

$- 2 u^{2}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

ステップ 5.16

$1$ を移動させます。

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

ステップ 8

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

ステップ 12

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ と $u]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$1$ および $0$ で $\frac{1}{5} u^{5} + u$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

ステップ 13.2

$1$ および $0$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.2

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.5

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.7

$\frac{1}{5}$ に $0$ をかけます。

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.10

$\frac{6}{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 13.3.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

ステップ 13.3.13

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.13.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

ステップ 13.3.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.13.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 13.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 13.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

ステップ 13.3.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

ステップ 13.3.14

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

ステップ 13.3.15

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

ステップ 13.3.16

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 13.3.17

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

ステップ 13.3.18

$\frac{6}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 13.3.19

$- \frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 13.3.20

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 13.3.20.1

$\frac{6}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 13.3.20.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 13.3.20.3

$\frac{2}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

ステップ 13.3.20.4

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

ステップ 13.3.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

ステップ 13.3.22

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.22.1

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

ステップ 13.3.22.2

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{18 - 10}{15}$

ステップ 13.3.22.3

$18$ から $10$ を引きます。

$\frac{8}{15}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8}{15}$

10進法形式：

$0.5\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例