微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

ステップ 1

$\sin^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

ステップ 2.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

ステップ 4

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 4.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 4.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 6

${(1 - u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 6.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ を $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ に書き換えます。

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 6.5

$u^{2}$ を移動させます。

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 6.6

$u^{2}$ を移動させます。

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.7

$1$ に $1$ をかけます。

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.11

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 6.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 6.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 6.14

$- u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 6.15

$- 2 u^{2}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

ステップ 6.16

$1$ を移動させます。

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 10

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

ステップ 14

$\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ と $u]_{1}^{0}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

ステップ 15

代入し簡約します。

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ステップ 15.1

$0$ および $1$ で $\frac{u^{5}}{5} + u$ の値を求めます。

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

ステップ 15.2

$0$ および $1$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3

簡約します。

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ステップ 15.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.2

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.2.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.6

公分母の分子をまとめます。

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.7

$1$ と $5$ をたし算します。

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.8

$0$ から $\frac{6}{5}$ を引きます。

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.10

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.10.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.10.2.3

式を書き換えます。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 15.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

ステップ 15.3.12

$0$ から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

ステップ 15.3.13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

ステップ 15.3.14

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.3.15

$- \frac{6}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.3.16

$\frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 15.3.17

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 15.3.17.1

$\frac{6}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 15.3.17.2

$5$ に $3$ をかけます。

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 15.3.17.3

$\frac{2}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

ステップ 15.3.17.4

$3$ に $5$ をかけます。

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

ステップ 15.3.18

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

ステップ 15.3.19

分子を簡約します。

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ステップ 15.3.19.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

ステップ 15.3.19.2

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

ステップ 15.3.19.3

$- 18$ と $10$ をたし算します。

$- \frac{- 8}{15}$

ステップ 15.3.20

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{8}{15}$

ステップ 15.3.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{8}{15})$

ステップ 15.3.22

$\frac{8}{15}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{15}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8}{15}$

10進法形式：

$0.5\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例