微分積分例

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

ステップ 1.1.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x^{2} + 1)}^{2}$ です。

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5

${(x^{2} + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.2

$A x + B$ を $1$ で割ります。

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ と $x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.2.1

$x^{2} + 1$ を $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

ステップ 1.1.6.2.2.4

$(C x + D) (x^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(C x + D) (x^{2} + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.6.3.1

分配則を当てはめます。

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6.3.2

分配則を当てはめます。

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.6.3.3

分配則を当てはめます。

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.4.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.4.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.1.6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4.2

$C$ に $1$ をかけます。

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

ステップ 1.1.6.4.3

$D$ に $1$ をかけます。

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

ステップ 1.1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$B$ を移動させます。

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

ステップ 1.1.7.2

$C x$ を移動させます。

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

ステップ 1.1.7.3

$A x$ を移動させます。

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = D$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + C$

ステップ 1.2.4

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + D$

ステップ 1.2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式を $D = 0$ として書き換えます。

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.2.2

$1 = A + C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.2.3

$1 = A + 0$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1.1

括弧を削除します。

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.2.1

$A$ と $0$ をたし算します。

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.3

各方程式の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

ステップ 1.3.3.2

$0 = B + D$ の $D$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.3.3

$0 = B + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1.1

括弧を削除します。

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

$B$ と $0$ をたし算します。

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4

方程式を $B = 0$ として書き換えます。

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3

$0$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

ステップ 1.5.4

式から0を削除します。

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$

微分積分 例

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