微分積分例

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 2

$\cos^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$\cos^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (u_{1})$ を $1 - \sin^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

ステップ 12.2

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\sin^{3} (4 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

ステップ 13.3

$\frac{1}{4}$ と $\sin (4 x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

ステップ 13.4

$\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ を掛けます。

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ステップ 13.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ をかけます。

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

ステップ 13.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$

微分積分 例

微分積分例