微分積分例

$\int \sec^{5} (x) d x$

ステップ 1

換算公式を当てはめます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (x) d x$

ステップ 2

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3

$u = \sec (x)$ と $d v = \sec^{2} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x)$

ステップ 4

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x)$

ステップ 5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x)$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

ステップ 7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x)$

ステップ 7.2

$\tan^{2} (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x)$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x)$

ステップ 9

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x)$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

ステップ 9.3

$\sec (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

ステップ 10

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x)$

ステップ 11

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x)$

ステップ 12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

ステップ 13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x)$

ステップ 14

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x)$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x)$

ステップ 16

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 17

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

ステップ 18

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

ステップ 19

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x))$

ステップ 20

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 20.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

ステップ 21

$\int \sec^{3} (x) d x$ を解くと、 $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 22

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C)$

ステップ 23

簡約します。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 24.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 24.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 24.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2 + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 24.4

$2$ を $\tan (x) \sec^{3} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

ステップ 25

項を並べ替えます。

$\frac{1}{8} (2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))) + C$

微分積分 例

微分積分例