微分積分例

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

ステップ 1

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

ステップ 2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

ステップ 3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

ステップ 6

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

ステップ 7

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

ステップ 9

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

ステップ 10

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

ステップ 10.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

指数を足して $2$ に $2^{3}$ を掛けます。

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ステップ 11.1.1

$2$ に $2^{3}$ をかけます。

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ステップ 11.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{\frac{2^{1 + 3} + 4}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{2^{4} + 4}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11.2

$2$ を $4$ 乗します。

$\sqrt{\frac{16 + 4}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11.3

$16$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{20}{2^{2} + 1}}$

ステップ 11.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{20}{4 + 1}}$

ステップ 11.5

$4$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{20}{5}}$

ステップ 11.6

$20$ を $5$ で割ります。

$\sqrt{4}$

ステップ 11.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

微分積分 例

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