微分積分例

$\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} d z$

ステップ 1

$u = 1 + z^{3}$ とします。次に $d u = 3 z^{2} d z$ すると、 $\frac{1}{3} d u = z^{2} d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + z^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + z^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [1 + z^{3}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + z^{3}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z^{3}]$ です。

$\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z^{3}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d z} [z^{3}]$

ステップ 1.1.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 z^{2}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $3 z^{2}$ をたし算します。

$3 z^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $\sqrt[3]{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2.3

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + z^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 + z^{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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